Textes des exposés de la session de juin 2009
[1007] Franck BARTHE - Un théorème de la limite centrale pour les ensembles convexes [d'après Klartag et Fleury-Guédon-Paouris] On
considère un vecteur aléatoire X uniformément distribué sur un ensemble
convexe de l'espace euclidien de dimension n. On suppose que sa matrice
de covariance est multiple de l'identité. Alors la grande majorité des
marginales de dimension 1 de la loi de X sont proches d'une même loi
gaussienne et les estimations s'améliorent lorsque la dimension n tend
vers l'infini. Le point crucial de la preuve consiste à montrer que la
norme euclidienne de X ne dévie de sa valeur moyenne qu'avec une
probabilité très faible. Ce résultat, démontré indépendamment par
Klartag et Fleury-Guédon-Paouris, répond à une conjecture importante en
géométrie asymptotique.
[1008] Emmanuel BREUILLARD - Équidistribution
des orbites toriques sur les espaces homogènes [d'après M. Einsiedler,
E. Lindenstrauss, Ph. Michel, A. Venkatesh]
Depuis les travaux de Dani, Margulis et Ratner sur les flots unipotents dans l'espace des réseaux ($X = G / \Gamma$, $G = SL(n,R)$, $\Gamma = L(n,Z)$)
de nombreux auteurs ont commencé à s'intéresser aux flots diagonaux.
Dans cet exposé, je présenterai les résultats récents de M. Einsiedler,
E. Lindenstrauss, P. Michel et A. Venkatesh concernant les propriétés
ergodiques et notamment l'équidistribution des "orbites toriques"
compactes. Leur méthode (pour n=3) combine des techniques
d'analyse harmonique et de théorie analytique des nombres
(sous-convexité) avec des techniques issues des systèmes dynamiques
(classification des mesures ergodiques invariantes par le tore
diagonal en présence d'entropie).
[1009] Alessio FIGALLI - Regularity of optimal transport maps [after Ma-Trudinger-Wang and Loeper]
The issue of regularity of optimal transport maps in the case "cost = squared distance'' on Rn
was solved by Caffarelli in the 1990s. However, a major open problem in
the theory was the question of regularity for more general cost
functions, or for the case "cost = squared distance'' on a Riemannian
manifold. A breakthrough to this problem has been achieved by
Ma-Trudinger-Wang (2005) and Loeper (2007), who found a necessary and
sufficient condition on the cost function in order to ensure the
regularity of the optimal map. This condition, now called MTW
condition, involves a combination of derivatives of the cost, up to the
fourth order. In the special case cost = squared distance'' on a
Riemannian manifold, the MTW condition corresponds to ask for the
non-negativity of a new curvature tensor on the manifold (the so-called
MTW tensor), and it implies strong geometric consequences on the
geometry of the manifold and on the structure of its cut-locus.
[1010] Edward FRENKEL - Gauge theory and Langlands duality The
Langlands Program was launched in the late 60s with the goal of
relating Galois representations and automorphic forms. In recent years,
a geometric version has been developed which leads to a mysterious
duality between certain categories of sheaves on moduli spaces of
(flat) bundles on algebraic curves. Three years ago, in a
groundbreaking advance, Kapustin and Witten have linked the geometric
Langlands correspondence to the S-duality of 4D supersymmetric gauge
theories. This and subsequent works have already led to striking new
insights into the geometric Langlands Program, which in particular
involve the Homological Mirror Symmetry of the Hitchin moduli spaces of
Higgs bundles on algebraic curves associated to two Langlands dual Lie
groups.
[1011] Sylvain MAILLOT - Variétés hyperboliques de petit volume [d'après D. Gabai, R. Meyerhoff, P.~Milley, ...] On
sait depuis les années 1970 grâce aux travaux de W. Thurston et T.
Jorgensen que les volumes des variétés hyperboliques orientables de
dimension 3 forment un ensemble bien ordonné de type $\omega^\omega$.
Cet ensemble admet donc en particulier un minimum. On conjecturait
depuis longtemps qu'une certaine variété W, découverte indépendamment
par J. Weeks d'une part, et A. Fomenko et S. Matveev d'autre part,
réalise ce minimum. Cette conjecture a été prouvée récemment par D.
Gabai, R. Meyerhoff et P. Milley.. . Texte (pdf)
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