Textes des exposés de la session de novembre 2011
[1043] Michel BRION - Restriction de représentations et projection d'orbites co-adjointes [d'après Belkale, Kumar, Ressayre]
Étant donnés un groupe de Lie compact connexe K et un sous-groupe fermé
connexe L, quelles sont les représentations irréductibles de L qui
apparaissent dans la restriction d'une représentation irréductible de K
? Comment une orbite de K dans la duale de sa représentation adjointe
se projette-t-elle sur la représentation co-adjointe de L ? L'exposé
présentera des progrès récents dans ces deux problèmes classiques, dus
principalement à Belkale, Kumar et Ressayre à la suite de travaux de
Klyachko, Berenstein-Sjamaar, Knutson-Tao-Woodward... Ils mettent
en œuvre de nouveaux développements du calcul de Schubert et de la
théorie géométrique des invariants.
[1044] Clément MOUHOT - Stabilité orbitale pour le système de Vlasov-Poisson gravitationnel [d'après Lemou-Méhats-Raphaël, Guo, Lin, Rein et al.]
Le
système de Vlasov-Poisson gravitationnel est le principal modèle pour
décrire les systèmes stellaires auto-gravitants. C'est un système
d'équations aux dérivées partielles non-linéaire réversible en temps où
l'interaction est décrite par le champ de gravitation moyen entre les
étoiles. Il était conjecturé depuis longtemps que certaines solutions
stationnaires, qui sont des fonctions monotones de l'énergie
microscopique, sont non-linéairement stables. Le caractère "orbital" de
cette stabilité provient de l'invariance par translation en espace de
l'équation. La preuve au niveau linéaire était connue depuis les
travaux fondateurs d'Antonov dans les années 1960, mais le problème
restait ouvert au niveau non-linéaire. Dans une série d'articles
récents, Lemou, Méhats et Raphaël résolvent cette conjecture. Nous
évoquerons également les avancées précédentes sur ce problème, et en
particulier les travaux de Guo et Rein (ainsi que ceux de Dolbeault,
Lin, Sánchez, Schaeffer, Soler, Wolansky...).
[1045] Pierre PANSU - Difficulté d'approximation [d'après Khot, Kindler, Mossel, O'Donnell,...]
Du
point de vue de la complexité algorithmique, de nombreux problèmes
d'optimisation combinatoire (comme MAX 3SAT, MAX CUT, SPARSEST CUT)
sont équivalents à première vue : ils sont NP-complets. Dans certains
cas, même des versions approchées, où on se contente d'une solution qui
réalise une fraction donnée de l'optimum, restent NP-complètes. C'est
l'essence du théorème PCP (1992). Depuis peu, pour MAX CUT, on
conjecture la valeur exacte du seuil d'approximabilité. Cela fait
intervenir de la géométrie et de l'analyse harmonique discrète.
[1046] Pierre RAPHAËL - Concentration compacité à la Kenig-Merle Dans leur article de référence de 2006 [Kenig, Merle, Global
well-posedness, scattering and blow-up for the energy-critical,
focusing, non-linear Schrödinger equation in the radial case, Invent. Math. 166 (2006) n° 3, 645-675], Kenig et Merle obtiennent la première démonstration critique de classification de l'onde solitaire pour une équation dispersive nonlinéaire critique : cette onde exceptionnelle est le premier objet nonlinéaire, car c'est la plus petite dynamique compacte
aux symétries du flot près. Je tenterai de tracer l'historique et de
montrer quelques ramifications de ce théorème fondamental qui s'inscrit
au sein d'une activité internationale très importante, et d'illustrer
l'influence de plusieurs domaines de l'analyse, et entre autre une idée
simple et profonde issue des techniques variationnelles des années 1980
: la méthode de concentration compacité de P.-L. Lions.
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