SÉMINAIRE NICOLAS BOURBAKI 7–8 mars 1998 RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

FALTINGS Gerd Curves and their fundamental groups

Following S. Mochizuki we show that for hyperbolic curves over a local p–adic field any open homomorphism of fundamental groups comes from a dominant morphism of curves. The result fits into Grothendieck’s philosophy of “anabelian geometry”. The proof uses Hodge–Tate theory.

JULG Pierre Travaux de N. Higson et G. Kasparov sur la conjecture de Baum–Connes

Soit G un groupe dénombrable. En 1982 P. Baum et A. Connes ont construit un homomorphisme d’assemblage de la K–homologie équivariante du G–espace propre universel vers la K–théorie topologique de la C^{∗}–algèbre engendrée par la représentation régulière de G. Ils conjecturent que c’est un isomorphisme. N. Higson et G. Kasparov ont montré cette conjecture pour les groupes qui admettent une action discrète par isométries sur un espace de Hilbert affine (propriété de Haagerup). Après avoir donné les principaux exemples de ces groupes, nous esquisserons une démonstration de leur théorème.

MICHEL Philippe Progrès récents du crible et applications

Prouver qu’un ensemble d’entiers (défini par des propriétés “naturelles”) contient une infinité de nombres premiers est un problème très difficile et inaccessible dans la plupart des cas. Nous présentons ici deux exemples où cette question est résolue affirmativement : d’une part, l’ensemble des fractions \{\frac{ν}{p} \}(mod 1), où ν est solution de l’équation ν^{2} + 1 ≡ 0(mod p) et p est premier ≡ 1(mod 4), est équidistribué modulo 1 (d’après Duke, Friedlander et Iwaniec) ; d’autre part, il existe une infinité de nombres premiers de la forme m^{2} + n^{4} (cet énoncé fort élémentaire est l’aboutissement de travaux de Fouvry, Friedlander et Iwaniec). Ces résultats sont (en partie) la conséquence d’une approche résolument nouvelle du crible arithmétique que nous décrirons également.

OESTERLÉ Joseph Quantifications formelles des variétés de Poisson [d’après M. Kontsevich]

Une quantification formelle d’une variété de Poisson X est une déformation du produit usuel de l’algèbre A = C^{∞}(X) en une loi de composition associative et R[[t]]-bilinéaire

⋆ sur A[[t]], donnée pour f, g dans A par un développement en série f ⋆g = ∑_{n=0}^{∞} B_{n}(f, g)t^{n},

où les B_{n} sont des opérateurs bidifférentiels et où B_{1}(f, g) − B_{1}(g, f) est le crochet de Poisson {f, g}. Maxim Kontsevich démontre que toute variété de Poisson possède une quantification formelle, naturelle à équivalence près ; il en donne une expression explicite, inspirée par la théorie des cordes, lorsque la variété sous-jacente à X est un ouvert de R^{n}.

SIKORAV Jean–Claude Construction de sous-variétés symplectiques [d’après S.K. Donaldson et D. Auroux]

S.K. Donaldson donne la première construction générale de sous-variétés symplectiques de codimension 2 d’une variété symplectique compacte donnée. Celles-ci sont obtenues comme zéros de sections presque holomorphes de certains fibrés en droites complexes, ce qui constitue une version presque complexe du théorème de plongement de Kodaira. Cette construction, qui a par la suite été raffinée et généralisée par D. Auroux, ouvre de vastes perspectives sur la topologie des variétés symplectiques.