SÉMINAIRE NICOLAS BOURBAKI 23-24 JUIN 2001 RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

BIANE Philippe – Entropie libre et algèbres d’opérateurs

Voiculescu a introduit une notion d’entropie pour un n-uplet d’opérateurs autoadjoints dans une algèbre de von Neumann finie, définie, à la Boltzmann, comme le logarithme du volume d’un ensemble de micro-états matriciels. En utilisant cette entropie libre, Voiculescu montre que les facteurs de groupes libres n’ont pas de sous-algèbre de Cartan, tandis que Ge montre qu’ils sont premiers. Il s’agit des premiers exemples de tels facteurs. On décrira ces résultats, ainsi que d’autres applications dues, notamment, à Dykema, Ge et Stefan.

HENNIART Guy – Progrès récents en fonctorialité de Langlands

Soit f = ∑ a_{n}q^{n} une forme modulaire classique, vecteur propre des opérateurs de Hecke. On sait lui associer une représentation ℓ-adique ρ : Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → GL_{2}(\overline{ℚ}_{ℓ}) telle que L(ρ, s) soit à peu près L(f, s) = ∑_{n≥1} a_{n}n^{−s}. Si Sym^{k} : GL_{2}(\overline{ℚ}_{ℓ}) → GL_{k+1}(\overline{ℚ}_{ℓ}) est la représentation donnée par le produit symétrique k^{ième}, on espère que L(Sym^{k} ∘ρ, s) est la fonction L d’un objet analytique comme la forme f, une représentation automorphe pour GL_{k+1} sur ℚ. C’est un cas particulier des conjectures de fonctorialité de Langlands. Nous exposerons les résultats récents sur ces conjectures, et notamment les travaux de Kim et Shahidi pour Sym^{3} et Sym^{4}.

PEYRE Emmanuel – Points de hauteur bornée et géométrie des variétés algébriques [d’après Manin et al.]

Si V est une variété algébrique ayant une infinité de points rationnels sur un corps de nombres, il est naturel de munir V d’une hauteur et d’étudier de manière asymptotique les points rationnels de hauteur bornée sur V. Les conjectures énoncées par Manin vers 1989 proposent une interprétation géométrique de ce comportement asymptotique où le fibré canonique et le cône des diviseurs effectifs dans le groupe de Néron-Severi jouent un rôle crucial. Le but de cet exposé est un survol des travaux suscités par ces conjectures.

SKANDALIS Georges – Géométrie non commutative et opérateur de signature invariant par difféomorphismes [d’après A. Connes et H. Moscovici]

Dans cet exposé, nous présentons une série de travaux de Connes-Moscovici, qui construisent un opérateur de signature (presque) invariant par le groupe de tous les difféomorphismes d’une variété, donnent une formule de l’indice ^{⟨⟨}locale^{⟩⟩} pour cet opérateur, puis introduisent une algèbre de Hopf naturelle. Celle-ci joue le rôle de ^{⟨⟨}groupe quantique^{⟩⟩} de^{⟨⟨}symétries quantiques^{⟩⟩} de ce système ; elle permet de simplifier les calculs dans cette formule d’indice. En particulier, la cohomologie cyclique de cette algèbre de Hopf est égale à la cohomologie de Gelfand Fuchs.

VILLANI Cédric – Limites hydrodynamiques de l’équation de Boltzmann

Considérons un gaz de particules obéissant aux lois de la mécanique classique. Selon les échelles physiques considérées, on peut en faire une description microscopique (équations de Newton), cinétique (équation de Boltzmann...) ou hydrodynamique (équations d’Euler, Navier-Stokes...). Le sixième problème de Hilbert concerne la cohérence mathématique de ces différentes modélisations. On exposera certains des progrès importants réalisés très récemment par Bardos, Golse, Levermore, Lions, Masmoudi, Saint-Raymond, quant au passage de l’équation de Boltzmann à diverses équations hydrodynamiques.