SÉMINAIRE NICOLAS BOURBAKI

26–27 JUIN 2004

RÉSUMÉS DES EXPOSÉS

ALINHAC Serge – Méthodes géométriques dans l’étude des équations d’Einstein [d’après Christodoulou, Klainerman, Nicoló et Rodnianski]

L’étude de l’équation des ondes et de ses perturbations a montré l’importance d’un certain nombre d’objets géométriques, tels que les cônes sortants et rentrants, les champs de Lorentz, des repères isotropes adaptés, etc. Parmi les systèmes d’équations hyperboliques non linéaires, les équations d’Einstein jouent un rôle central ; leur étude a nécessité, dans le cas d’un espacetemps courbe, la construction d’objets analogues à ceux du cas plat, cônes, repères adaptés, etc. La construction de ces objets en même temps que la solution est au cœur des travaux sur le problème de Cauchy en relativité générale, et fait l’objet de l’exposé.

BELABAS Karim – Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants [d’après Bhargava]

La composition de Gauss donne une structure de groupe aux orbites de formes quadratiques binaires entières de discriminant D, sous l’action de SL_{2} par changement de variable, essentiellement le groupe des classes de l’ordre quadratique de discriminant D. Les domaines fondamentaux associés permettent calculs explicites et évaluation d’ordres moyens. Je présenterai les lois de composition supérieures découvertes par M. Bhargava à partir de la classification des espaces vectoriels préhomogènes réguliers, ainsi que les résultats de densité qu’il obtient ou conjecture, en particulier sur les discriminants de corps de nombres.

PAJOT Hervé – Capacité analytique et le problème de Painlevé

Le problème de Painlevé consiste à trouver une caractérisation géométrique des sousensembles du plan complexe qui sont effaçables pour les fonctions holomorphes bornées. Ce problème d’analyse complexe a connu ces dernières années des avancées étonnantes, essentiellement grâce au dévelopement de techniques fines d’analyse réelle et de théorie de la mesure géométrique. Dans cet exposé, nous allons présenter et discuter une solution proposée par X. Tolsa en termes de courbure de Menger au problème de Painlevé.

VAES Stefaan – États quasi-libres libres et facteurs de type III [d’après D. Shlyakhtenko]

Les états quasi-libres sur l’algèbre des relations d’anticommutation canoniques donnent lieu à des représentations qui engendrent les facteurs moyennables d’Araki et Woods. Dans le cadre des probabilités libres de Voiculescu, Shlyakhtenko a trouvé un analogue libre de ces facteurs Araki-Woods. La construction de Shlyakhtenko part d’un groupe à un paramètre de transformations orthogonales d’un espace de Hilbert réel. Les facteurs associés fournissent une richesse de nouveaux exemples de facteurs de type III_{1} dans la classification de Connes.