Séminaire Betty B.

J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.

27 mars 2020

Le Séminaire Betty B. a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

14h00
Sarah Peluse — An introduction to Gowers norms
In this talk, I will define the Gowers uniformity norms, discuss the role they play in Gowers's proof of Szemerédi's theorem, and state a couple of versions of the inverse theorem for these norms, including the "local" version used in Gowers's proof. As a warm-up for thinking about the inverse theory of the Gowers norms, I will also present a proof of the "99% inverse theorem", which concerns a model case of the inverse problem.
15h30
Samuel Tapie — Contraintes de courbure pour les espaces métriques
La courbure d'une surface dans $\mathbb R^3$ mesure la façon dont varie l'accélération d'une particule qui évoluerait librement dessus. En dimension plus grande, la courbure d'un "objet courbe" (une variété riemannienne) est un tenseur, introduit par Riemann, qui décrit les propriétés locales à l'ordre 2 de notre objet. Une grande partie de la géométrie riemannienne consiste à comprendre comment la courbure d'un objet peut influencer sa topologie ou ses propriétés géométriques globales comme le volume des boules, les trajectoires des géodésiques, les solutions de l'équation de la chaleur... Un espace métrique est un ensemble muni d'une distance, sur lequel "dériver" n'a souvent aucun sens. Dans cet exposé, nous verrons pourtant ce qu'est un espace métrique à courbure majorée par $-1$, à courbure de Ricci positive... Ces "contraintes de courbures sur des objets non-lisses" sont devenus des outils importants dans des domaines très variés, de la théorie géométrique des groupes à la résolution de problèmes d'analyse géométrique, comme la célèbre démonstration de la conjecture de Poincaré par Perelman. Ces notions ont également permis d'améliorer notre compréhension des contraintes de courbure lisse (typiquement des bornes sur la courbure de Ricci), ce qui a permis les progrès récents dans l'étude de la structure des variétés riemannienne à courbure de Ricci minorée (Cheeger, Colding, Jiang et Naber) ou l'étude de la topologie des espaces de métriques à courbure scalaire positive (Bamler et Kleiner).

Séminaire N. Bourbaki

28 mars 2020

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

11h00
Thomas Bloom — Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms after F. Manners [PDF]
Gowers uniformity norms are the central object of higher-order Fourier analysis, one of the cornerstones of additive combinatorics, and play an important role in both Gowers' proof of Szemerédi's theorem and the Green-Tao theorem. The inverse theorem states that if a function has a large uniformity norm, which is a robust combinatorial measure of structure, then it must correlate with a nilsequence, which is a highly structured algebraic object. This was proved in a qualitative sense by Green, Tao, and Ziegler, but with a proof that was incapable of providing reasonable bounds. In 2018 Manners achieved a breakthrough by giving a new proof of the inverse theorem. Not only does this new proof give a wealth of new insights but it also, for the first time, provides quantitative bounds, that are at worst only doubly exponential. This talk will give a high-level overview of what the inverse theorem says, why it is important, and the new proof of Manners.
14h30
Ilaria Mondello — Structure des espaces limites des variétés non effondrées à courbure de Ricci minorée d’après J. Cheeger, W. Jiang et A. Naber [PDF]
Grâce au célèbre théorème de pré-compacité démontré par Gromov en 1981, nous savons que toute suite de variétés à courbure de Ricci minorée possède une sous-suite convergente vers un espace métrique en topologie de Gromov-Hausdorff pointée. Depuis lors, de nombreux mathématiciens, Anderson, Bando, Kasue, Nakajima, Cheeger, Colding, Tian, ont exploré la structure de cet espace limite, en particulier dans le cas de variétés à courbure de Ricci bornée, non effondrées, c’est-à-dire dont le volume de la boule unitaire est uniformément minoré. Les récents travaux de Cheeger, Jiang et Naber ont permis des avancées significatives dans la compréhension de la géométrie des espaces limites non effondrés. Ils ont ainsi démontré que, pour une suite de variétés à courbure de Ricci bornée, et sans hypothèse supplémentaire sur la courbure de Riemann, le lieu singulier est de codimension au moins quatre et de mesure d’Hausdorff correspondante finie (conjecture de la codimension quatre). Pour une suite de variétés dont la courbure de Ricci est seulement minorée, ils ont prouvé la rectifiabilité du lieu singulier et l’unicité presque partout des cônes tangents, ce qui améliore grandement les résultats connus sur les singularités de l’espace limite.
16h00
Sylvain Maillot — Flot de Ricci et difféomorphismes de variétés de dimension $3$ d'après R. Bamler et B. Kleiner [PDF]
R. Bamler et B. Kleiner démontrent que si $M$ est une variété de dimension 3 compacte admettant une métrique riemannienne à courbure constante strictement positive, alors l'injection canonique du groupe d'isométries de cette métrique dans le groupe de difféomorphismes de $M$ est une équivalence d'homotopie. Leur méthode est basée sur la notion de flot de Ricci singulier développée par B. Kleiner et J. Lott, et donne une nouvelle preuve de la conjecture de Smale, démontrée par Hatcher en 1983, dans le cas de $S^3$. Elle permet également de prouver que l'espace des métriques à courbure scalaire strictement positive sur une variété de dimension 3 compacte est vide ou contractile, ce qui améliore un résultat obtenu par F. Coda Marques en 2012.

Sessions antérieures :

Session de janvier 2020

Session de novembre 2019

Session de juin 2019

Brochure

Des brochures contenant les quatre exposés du Séminaire N. Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance ; 300 exemplaires seront disponibles au cours de cette session.

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Remerciements

Une subvention du CNRS couvre une partie des frais d'organisation de ce Séminaire.

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Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki
Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre-et-Marie-Curie
75231 Paris cedex 05, FRANCE
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